Variable Aleatoria
Discreta
Las
variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el capítulo siguiente
trataremos extensamente las variables aleatorias continuas (v. a. c.), pero
de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre ellas, podemos
decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las
continuas aparecen cuando se mide.
na
variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre
dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras
que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones”
entre los valores que puede tomar.
De
acuerdo a lo anterior podemos decir que:
Una variable aleatoria X es discreta, si
solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.
Como
ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de
libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la
cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en
un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de
accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.
Sea
X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el
resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba
la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos
observado el valor X = a.
Una
variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:
1.
La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio
muestral S del experimento y sus valores son números reales.
2.
Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S.
Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = a tiene una
probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X
que están en I.
Ejemplo
4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X
el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede
tomar la variable aleatoria.
Solución.
El
espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:
S
= { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}
Si solamente
nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral
(+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto
muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así
los demás puntos muestrales. Por lo tanto:
X(+++) = 0
(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1
X(cc+) = X(c+c) = X(+cc) = 2
X(ccc)
= 3
EJERCICIOS RESUELTOS: (LA PAGINA BLOOGGER DONDE SE CREO ESTE BLOG, NO DEJA CREAR MAS DE 20 PAGINAS, LOS EJERCICIOS ESTARAN AQUI ABAJO)
1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:a)
A)El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000b)
B)La varianza y la desviación típica.
( Solución: 40 y 6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la p
robabilidadde que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:a)
La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembrasb)
Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )
5 buenas
n = 7 2 defectuosas
σ = 0.40816 = 0.6388
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:
Función de Distribución Acumulada
σ = 3.5625 = 1.887
0 si X < 5
Media
µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60
Varianza
σ = (8.560)1/2 = 2.925
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1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:a)
A)El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000b)
B)La varianza y la desviación típica.
( Solución: 40 y 6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la p
robabilidadde que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:a)
La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembrasb)
Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )
3.
Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas
tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el
número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de
X:
Datos:
5 buenas
n = 7 2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2
función de Probabilidad
X = Xi
|
0
|
1
|
2
|
P (Xi)
|
2/7
|
4/7
|
1/7
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
| F(X) |
0
|
2/7
|
0 + 2/7 = 2/7
|
1
|
4/7
|
2/7 + 4/7 = 6/7
|
2
|
1/7
|
6/7 + 1/7 = 1
|
Media
µ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7
Varianza
V(x)= (0 – 6/7)2(2/7) + (1-6/7)2 (4/7) + (2-6/7)2 (1/7)= 20/49 = 0.40816
Desviación Estándar
σ = 0.40816 = 0.6388
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:
Función de probabilidad
X = Xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
P (Xi)
|
2/28
|
3/28
|
4/28
|
5/28
|
4/20
|
3/20
|
2/20
|
1/20
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
1
|
2/28
|
0 + 2/28 = 2/28
|
2
|
3/28
|
2/28 + 3/28 = 5/28
|
3
|
4/28
|
5/28 + 4/28 = 9/28
|
4
|
5/28
|
9/28 + 5/28 = 14/28
|
5
|
4/20
|
14/28 + 4/20 = 14/20
|
6
|
3/20
|
14/20 + 3/20 = 17/20
|
7
|
2/20
|
17/20 + 2/20 = 19/20
|
8
|
1/20
|
19/20 + 1/20 = 1
|
Media
µ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20) = 129/28
Varianza
V(x)=(1-129/28)2(2/28)+(2-129/28)2(3/28)+(3-129/28)2(4/28)+(4-129/28)2(5/28)+(5-129/28)2(4/20)+
(6-129/28)2(3/20)+(7-129/28)2(2/20)+(8-129/28)2(1/20)= 57/16 = 3.5625
Desviación Estándar
σ = 3.5625 = 1.887
4. Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde
F(x)= k(9-x) si x= 5, 6, 7, 8
0 en otro caso
a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X
P(X=5) = k (9-5) = 4k
P(X=6) =k(9-6) =3k
P(X=7) =k(9-7) =2k
P(X=8) =k(9-8) =1k
Sabemos que: 10k = 1 entonces tenemos que:
k = 1/10
función de Probabilidad
X
|
5
|
6
|
7
|
8
|
P (X)
|
4/10
|
3/10
|
2/10
|
1/10
|
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
5
|
4/10
|
0+4/10 = 4/10
|
6
|
3/10
|
4/10+3/10 =7/10
|
7
|
2/10
|
7/10+2/10 =9/10
|
8
|
1/10
|
9/10+1/10 = 1
|
0 si X < 5
4/10 si 5 ≤ X ≤ 6
F(X) 7/10 si 6 ≤ X ≤ 7
9/10 si 8 ≤ X ≤ 9
1 si X> 8
Media
µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6
Varianza
V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1
5. Sea
X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una
maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de
probabilidad para Z esta dada por,
F(x)= x2-3x para x= 4, 5, 6, 7
60 si x= 4, 5, 6, 7
Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,
Función de Probabilidad
X
|
4
|
5
|
6
|
7
|
P (Xi)
|
4/60
|
10/60
|
18/60
|
28/60
|
P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60
60
P(X=5)= (5)2-3/5) = 10/60
60
P(X=6)= (6)2-3/6) = 18/60
60
P(X=7)= (7)2-3/7) = 28/60
60
Función de Distribución Acumulada
X
|
P(X)
|
F(X)
|
4
|
4/60
|
0+4/60 = 4/60
|
5
|
10/60
|
4/60+10/60 = 14/60
|
6
|
18/60
|
14/60+18/60 = 32/60
|
7
|
28/60
|
32/60+28/60 = 1
|
µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60
Varianza
V(x)= (4 - 37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)
V(x)=8.560
Desviacion Estándarσ = (8.560)1/2 = 2.925
6.- Se
lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de
las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la
esperanza matemática y la varianza.
| x | p i | x · p i | x 2· pi |
|---|---|---|---|
| 2 | 1/36 | 2/36 | 4/36 |
| 3 | 2/36 | 6/36 | 18/36 |
| 4 | 3/36 | 12/36 | 48/36 |
| 5 | 4 /36 | 20/3 6 | 100/36 |
| 6 | 5/36 | 30/36 | 180/36 |
| 7 | 6/36 | 42/36 | 294/36 |
| 8 | 5/36 | 40/36 | 320/36 |
| 9 | 4 /36 | 36/36 | 324/36 |
| 10 | 3/36 | 30/36 | 300/36 |
| 11 | 2/36 | 22/36 | 242/36 |
| 12 | 1/36 | 12/36 | 144/36 |
| 7 | 54.83 |
7.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale
número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si
no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado.
Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del
juego.
| x | p i | x· p i |
|---|---|---|
| +100 |  |
100/6 |
| + 200 | |
200/6 |
| + 300 | |
300/6 |
| - 400 | |
-400/6 |
| + 500 | |
500/6 |
| -600 | |
- 600/6 |
| 100/6 |
µ =16.667
8.- Si una persona compra
una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo
premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el
precio justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
9.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
| x | p i |
|---|---|
| 0 | 0,1 |
| 1 | 0,2 |
| 2 | 0,1 |
| 3 | 0,4 |
| 4 | 0,1 |
| 5 | 0,1 |
10. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
11. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5
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