Probabilidad conjunta (EJERCICIOS)

EJERCICIOS RESUELTOS:

1.-La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P=(2/5)(1/4)

P=2/20

P= 1/10

2.-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

3.-Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es

P= (2/5)(1/4)

P= (1/5)(1/2)

P= 1/10

4.-En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

        A ≡La segunda ficha sea azul.

La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:

P (B)*P(A)

P= (10/15)(5/14)

P= (5/3) (1/7)

P=5/21

5.-Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es

P=3/39

P=1/13

6.-Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) =

P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)

P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)

P(abre 3º intento) = 6/24

P(abre 3º intento) = 1/6

7.-De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y

la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos

A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas

 ⇒ P(A) = casos favorables hay un solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total  1

P=1/52

extraer un 4 de un mazo de 51 cartas.

⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales Quedan

  P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total

La probabilidad pedida es:

P(A) •P(B) = (1/52)(4/51)

8.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:

P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)

P= (4! 4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)

P= 4•7!/52!

9.-La cardinalidad del espacio muestral, o el número de casos posibles que hay, al extraer 4 cartas de un total de 52, viene dada, sin importar el orden en que se extraen, por:

P(Diez) = 4/51

P(Diez)=(4/52)(4/51)

P=(1/13)( 4/51)

P=4/663

La cardinalidad del espacio muestral, o de casos posibles que hay, al extraer 1 carta de las 48 restantes viene dada, por:

P(As) = 4/52

P(Diez) = 4/52

P(Diez) = 4/5151

10.- En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 .Así,

la probabilidad pedida es : (3/8)(2/7)=( 3/4)(1/7)=3/28

11.- Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, laprobabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de untotal de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 Así

La probabilidad pedida es=(2/5)(1/4)=(1/5)(1/2)=1/10

12.- En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

       A ≡La segunda ficha sea azul.

P(B) •P(A) y conforme a Laplace (casos favorables/casos totales)

P(B)•P(A) =(10/15)(4/14)=(1/3)(5/7)=1/21

13.- Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces,

la probabilidad pedida es=3/39=1/13

14.- Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos.

La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) = P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento) =(3/4)(2/3)(1/2)=(6/24)=1/4

14.- De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas hay un solo as de trébol 1

P(A) =casos favorables/ casos totales = 1/52

B ≡extraer un 4 de un mazo de 51 cartas, hay cuatros naipes con número

P(B) = casos favorables/ casos totales = 4/51=

Quedan 51 cartas en total 51

La probabilidad pedida es P(A) •P (B) = (1/52)(4/51)

15.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente.

La probabilidad pedida viene dada por:

P= (4/52)(3/51)(1/50)(1/49)                               P= 4!/(52 51 50 49 48)

P= (4!• 47!)/ 52 • 51• 50 • 49 • 48 • 47!             P= (4!• 47!)/ 52!

16.- Se sacan dos cartas, una tras otra, sin restitución, de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad que éstas sean un as y un diez?

Solución:

Tenemos un evento sin sustitución que puede

ocurrir de dos maneras. Ya sea si primero obtenemos el As y después un diez o viceversa. Además, al extraer la primera carta ya no habrá 52 en el mazo, sino que 51 para la próxima extracción. Por lo tanto la probabilidad pedida será una suma de probabilidades que considerará las dos maneras en que puede suceder lo pedido:

P(obtener un as y un diez) = P(Sacar 1º As y después 1diez + P(Sacar 1º diez y después el As)

P= (4^1/52^13)(4/51) + (4^1/52^13)(4/51)

P=2((1/13)(4/51))

P= 8/663

17.- La probabilidad de iniciar un noviazgo es 2/5y la probabilidad de llegar a tiempo al registro civil el día de mi matrimonio es 3/4. ¿Cuál es la probabilidad de no casarme?

Solución:

Sean los eventos:

A ≡iniciar un noviazgo.

 B ≡llegar a tiempo al registro civil el día de mi matrimonio.

El evento de casarme viene dado por B/A, es decir, llegar a tiempo al registro civil dado que he iniciado un noviazgo. Dado que un evento influye sobre el otro. No puedo considerar el caso de no tener noviazgo. La probabilidad de casarme viene dado por la probabilidad de tener un noviazgo y de llegar a tiempo al registro civil. Es decir,

P(casarme) = (2/5)(3/4)                                               P=3/10                           P=(3/10)(100%)                                                           P=30% 

18.-Se seleccionan al azar dos números de entre los números del  1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares 

Solución:

d = {₉C₂ = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}       

(1,2)

 (1,3) (2,3)

 (1,4) (2,4) (3,4)

d =  (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

        

       (1,3)

       (2,4)

E =  (1,5) (3,5)

       (2,6) (4,6)

       (1,3) (3,7) (5,7)

       (2,8) (4,8) (6,8)

       (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos }

A = evento de que ambos números sean pares

   

        (2,4)

 

A =  (2,6) (4,6)

      

       (2,8) (4,8) (6,8)

A = {6 elementos}

              (2,4)

 

AÇE =  (2,6) (4,6)

      

              (2,8) (4,8) (6,8)

½AÇE½ = 6 elementos ,              p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375

19.- Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

Solución:

 Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.

Y el espacio muestral obtenido es:

H = niño

M = niña

d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

a.       A = evento de que la familia tenga puros hijos varones

A = {HHH}

p(A) = 1/8 = 0.125

b.      B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c.       C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón

C = {HHH, HHM, MHH, MHM }

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d.      Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;

E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = {tenga una o más hijas}

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}

A = evento de que el segundo hijo sea varón

A = { HHH, HHM, MHH, MHM }

AÇE = { HHM, MHH, MHM }= {3 elementos}

Luego;

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 =  0.42857

e.       E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras hijas

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}

A = {MMM}

AÇE = {MMM} = {1 elemento}

P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25

20.- Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina?

Solución:

a.       E = evento de que un auto cargue gasolina

b.       

p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11

AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

p(AÇE) = 0.07

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

c.       E = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga gasolina

P(A) = 0.79

AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

P(AÇE) = 0.07

P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636

21.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido,  c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

Solución:

a.       A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(AÇB) = 0.05

P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b.      p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 = 0.31

c.       E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125

d.      E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621